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浙江舟山体育彩票飞鱼:上海新纪元(重庆)学校中小学生数学核心素养与方法论初探

作者:张柏祥 点击数(0)已有0人评论2017/9/20 15:24:30 加入收藏

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摘要:从学生发展和数学课程教学的角度理解,核心素养基于数学知识技能,又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想,是在数学学习过程中形成的,具有综合性、阶段性和持久性。数学基本思想统领数学和数学教育,数学核心素养更侧重数学学习的深层次目标,数学思想方法更强调学习数学过程中运用的反映一定数学思想的具有操作性的方法。核心素养基于数学知识技能,又高于具体的数学知识技能。

关键词:核心素养  数学思想  数学方法

数学,素有“思维训练体操”之称,她本身有枯燥的一面,但更多是数学有无穷的魅力,她体现了数学与人文科学精神的共通性,她以传统的课堂教学为基础,以开放、创新的思维模式,集中体现了素质教育思想,也体现了数学作为基础学科的教育哲学思维。

数学科学和数学史料是数学方法论的源泉,同时,数学方法论还涉及到哲学、思维科学,心理学、一般科学方法论、系统科学等众多的领域。

数学方法论分为宏观数学方法论与微观数学方法论。

数学宏观方法论:所研究的是整个数学的产生、形成和发展的规律,数学理论的构造,以及数学与其它科学之间的关系。研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史。研究宏观方法论的另一条主要途径是研究数学理论体系的构造。

数学微观方法论:所研究的是一些比较具体数学方法,特别是数学发现和数学创造的方法。包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论等等。以下内容仅供参考与借鉴:

一、宏观型思想方法

数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活应用数学知识、技能的灵魂。

(一)转化(化归)思想

解决数学问题就是一个不断转化的过程,把问题进行变换,使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉,变未知为已知,从而使问题得以解决。

不是对原来的问题直接解答,而是想方设法对它进行变形,直到把它转化成某个(某几个)已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来,从而缩短已知条件和结论之间的距离,找出它们之间内在的联系,以便应用有关方法将问题解决。

“转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程,具体的说,就是把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“抽象”转化为“具体”,把“复杂问题”转化为“简单问题”,把“高次”转化为“低次”,在不断的相互转化中使问题得到解决。

运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法,配方法,进行构造变形实现转化、数形结合,实现转化。一般转化为特殊,有些代数问题,通过构造图形,化抽象为具体,借助直观启发思维,转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明,有些结构比较复杂的问题,可以简化题中某一条件,甚至暂时撇开不顾,先考虑一个简化的问题,这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法:a、化繁为简;b、化高维为低维;c、化抽象为具体;d、化非规范性问题为规范性问题;e、化数为形;f、化实际问题为数学问题;g、化综合为单一;h、化一般为特殊。

有加减法的转化,乘除法的转化,乘方与开方的转化,添辅助线,设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此,首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法

应用:A将未知向已知转化;B将陌生向熟知转化;C方程之间的转化;D平面图形间的转化;E空间图形与平面图形的转化;F统计图之间的相互转化。

例子:减法转化成加法(减去一个数等于加上这个数的相反数);除法转化成乘法(除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数);多项式的先化简再代入求值;单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算;单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算;将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数;实数近似运算中据问题需要取近似值,从而转化为有理数计算;将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减;将分式的除法转化成分式的乘法;将分式方程转化为整式方程求解;将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和;将方程的复杂形式化为最简形式;通过立方程把实际问题转化为数学问题;通过解方程把未知转化为已知;把一元二次方程转化为一元一次方程求解;把二元二次方程组转化为二元一次方程组,再转化为一元一次方程从而求解;通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定;角度关系的证明和计算;平行线的性质和判定;把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化;特殊化(特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等);图形的变换(轴对称、平移、旋转、相似变换);解斜三角形(多边形)时将其转化为解直角三角形;

(二)数形结合思想

数学的研究对象是现实世界中的数量关系(“数”)和空间形式(“形”),而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的,一定条件下也是可以互相转化的,因此,在解决问题时,常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查,利用数的抽象严谨和形的直观表意,把抽象思维和形象思维结合起来,把数量关系问题通过图形性质进行研究,或者把图形性质问题通过数量关系进行研究,从而形成问题解决的一种重要数学思想(以数解形,以形助数)。

数是形的抽象概括,形是数的直观体现,把数和形结合起来,从而把隐蔽的问题明朗化、抽象的问题直观化、复杂的问题简单化,化难为易,达到快速、形象、简单易行地解决问题的目的。

数形结合思想在数学应用中非常广泛,它比较适合处理那些数量关系与图形位置关系可以互相转化的问题。

应用:A利用数轴确定实数的范围;B几何图形与代数恒等式(或不等式);C数与形相结合在平面直角坐标系中的应用;D利用函数图像解决方程、不等式问题;E数与形相结合在函数中的应用;F构造几何图形解决代数问题

例如:在数轴上表示数;用数轴描述有理数的有关概念和运算(相反数、绝对值等概念,比较有理数的大小,利用数轴探究有理数的加法法则、乘法法则等);在数轴上表示不等式的解集;代数的不等式(组)、方程和方程组,几何的几乎所有内容;函数方面(建立直角坐标系使点与有序实数对之间建立了一一对应关系,从而具备了数形转化的重要工具;从解析式和图像两个方面来研究函数,能更清晰地把握函数的性质;用图像解决代数问题〈如解不等式、解方程〉和用代数解决几何问题〈如通过解析式确定抛物线的对称轴、开口方向等〉);

运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题;能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。

①数轴上的点与实数的一一对应的关系。②平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。③函数式与图像之间的关系。④线段(角)的和、差、倍、分等问题,充分利用数来反映形。⑤解三角形,求角度和边长,引入了三角函数,这是用代数方法解决几何问题。⑥“圆”这一章中,贺的定义,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。⑦统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表,用这些图表的反映数据的分情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征,这是数形结合思想在实际中的直接应用。

(三)分类讨论思想

由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化,常常使同一问题具有多种形态,因而有必要考察全面(所有不同情况),才能把握问题的实质,此时应当进行适当分类,就每一种情形研究讨论结论的真理性(正确性)。

是化整为零、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的体现。当被研究的问题包含多种情况,又不能一概而论时,必须按出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论。

在具体的求解过程中,整体问题转化为部分问题后,事实上增加了题设条件。

把一个复杂的问题分成若干个相对简单的问题来处理。

分类有不同方法,但必须按统一标准分类,且做到不重不漏,“讨论务尽”。

分类讨论思想是指对一个问题出现的情况进行全面分析思考,将其区分为不同种类,克服思维的片面性,防止漏解。即根据题目的要求,将条件分为不重复、不遗漏的几种情况,并逐一列出它们的解答。从整体上看,中学数学分代数、几何两大类,然后采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现,从具体内容上看,初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等,学生要按不同的情况去对同一对象进行分类,掌握好分类的方法原则,形成分类的思想。

当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时,就把问题按照一定的原则或标准分为若干类,然后逐类进行讨论,再把这几类的结论汇总,得出问题的答案,这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。

分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之,各个击破”。其一般规则及步骤是:(1)确定同一分类标准;(2)恰当地对全体对象进行分类,按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”;(3)逐类讨论,按一定的层次讨论,逐级进行;(4)综合概括小节,归纳得出结论。

应用:A对问题的题设条件需分类讨论;B对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论;C从图像中获取信息进行分类讨论;D对图形的位置、类型的分类讨论;E对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论。

例子:有理数的分类;绝对值的讨论;有理数的加法法则、乘法法则、有理数乘法的符号法则、乘方的符号法则;整式分类;研究平方根、立方根时,把数按正数、0、负数分类;按定义或按大小对实数进行分类;

(四)数学建模思想

数学模型指根据所研究的问题的一些属性、关系,用形式化的数学语言(概念、符号、语言等)表示的一种数学结构(如多项式、方程式、不等式、函数式以及图形等)。

数学模型方法,指先根据研究的问题建立数学模型,再通过对数学模型的探索进而达到解题目的的方法。此法多用于解决一些实际问题或较繁琐的数学问题。

 

所谓数学模型,是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构,把实际应用题中的等量关系构建在方程组的模式,或其他模式。就是找到一种解决问题的数学方法。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函数或其他数学式子,也可以是一个几何基本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示:

数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法,初中数学中常用的数学模型有:方程模型,函数模型,几何模型,三角模型,不等式模型和统计模型等等。

应用:A建立几何模型(合理、正确地画出几何图形);B建立方程、函数模型解决实际问题;C在解决实际问题(如物体运动规律、销售问题、利润问题、方案设计、几何图形变化问题等)时,先抽象出一次函数或二次函数关系式的数学模型(即建模),再用函数的知识来解决这些实际问题。

1.方程思想

在解决问题时,通过已知量和未知量的联系,建立起方程或方程组,通过解方程或方程组,求出未知量的数值,从而使问题得以解决,这种通过立方程(组)去沟通已知和未知的联系的数学思想,就称为方程思想。

在求解数学问题时,从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手,找出相等关系,运用数学符号语言将相等关系转化为方程(或方程组),再通过解方程(组)使问题获得解决。

求值问题,当未知数不能直接求出时,一般需设出未知数(x),并建立方程,用解方程的方法去求结果,这是解题中常见的具有导向作用的一种思想。

分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系。通过适当设元, 利用已知条件、公式、定理中的已知结论来构造方程(组),从而解决问题的一种思维方式。

方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量,并把这些量用字母表示(习惯上用x表示未知量),将问题中的条件,量与量的关系列为方程或不等式,通过解方程或不等式,或利用方程的性质,不等式的性质使问题得以解决。

例如:立方程(组)解应用题;利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数);二次三项式的因式分解;利用韦达定理解形如韦达定理的二元二次方程组;

2.函数思想

将所研究的问题纳入某变化过程中加以考查,从中抽象出变量之间特定的函数关系,然后利用函数的性质去解决问题,从而得到实际问题的研究结果,这种研究问题的思维策略就是函数思想。

函数思想的实质是用运动变化对应的观点去研究两个变量间的相互依赖关系。

辩证唯物主义认为,世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中,这就要求我们教学中重视函数的思想方法。函数所揭示的是两个变量之间的对应关系,通俗的讲就是一个量的变化引起了另一个量的变化。在数学中总是设法将这种对应关系用解析式表示出来,这样就能充分运用函数的知识、方法来解决有关的问题。虽然函数知识安排在初中后阶段学习,但函数思想已经渗透到七、八年级数学教材的各个内容之中。例如学习进行求代数式的值的时,通过强调解题的第一步“当……时”的依据,渗透函数的思想方法——字母每取一个值,代数式就有唯一确定的值。函数是将原来问题中的一些量转化为变量和常量,并把这些量用字母(习惯用x 、y)表示,把量与量的关系抽象概括为函数模型,用运动、变化和对应的观点,通过对函数模型的研究利用函数的性质,使问题获得解决。函数是数学最重要的概念之一。它是量的侧面反映着现实世界中运动、变化及相互联系、相互制约的关系。在初中阶段能利用解析式表示正、反比例函数、二次函数。在日常生活中,还存在着函数关系,它们多数是用图像表示的。

应用:求最大(?。┲?;解决有关方程、不等式、圆的问题;解决大量的实际问题;

(五)抽象和概括思维方法

从所研究的问题中排开那些与转化无关的表面因素,只抽取出与研究有关,直接作用于转化机制的本质属性。

解题通常不能一步到位,因而伴随解题的抽象活动也必须经过多步才能完成。解题过程倘若缺少抽象概括方法的引导,将会出现偏离解题方向的现象,进而从事无效劳动,甚至由于一些非本质属性的干扰,难以建立解题思路。

抽象:是人们在感性认识的基础上,透过现象,深入里层,抽取出事物的本质特征、内部联系和规律,从而达到理性认识的思维方法。抽象的过程离不开比较、归纳、分析、综合,要经过“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作过程,排除那些无关的或非本质的次要因素,抽取出研究对象的重要特征、本质因素、普遍规律与因果关系加以认识,从而为解答问题提供某种科学依据或一般原理。

概括:即把抽象出来的若干事物的共同属性归纳出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式,是一种由个别到一般的思维方法。概括是以抽象为基础,抽象度愈高,则概括性愈强,高度的概括对事物的理解更具有一般性,则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象,而概括则涉及一类对象。

从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象,即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。数学思维侧重于分析、提练、概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察和分析,抽象出每个对象的各种属性,再通过归纳、概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面,得出数学的模型、模式,总结出解题的规律和方法,都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节,最后进行理论概括的结果

几何图形都是由现实事物去其物理性质,而只考虑其形状、大小、位置抽象出来的,这也是解决现实生活中问题的一个途径。

(六)整体思想

将问题看成一个完整的整体,把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上,从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略。

整体思想注重问题的整体结构,将题中的某些元素或组合看成一个整体,从而化繁为简,化难为易。把问题放到整体结构中去考虑, 就可以开拓解题思路,优化解题过程。

从整体观点出发,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题思想方法。

化简:1/(a+2)(a+3)+1/(a+3)(a+4)+/1(a+4)(a+5)时按常规方法进行通分,显然最简公分母比较复杂,计算量较大。若从整体观察分式的特征,可逆用分式加减法法则及规律公式1/n(n+1)=1/n-1/(n+1),将原分式分离变形。

即原式=1/(a +2)-1/(a+3)+1/(a+3)-1/(a+4)+1/(a+4)-1/(a+5)=1/(a+2)-1/(a+5)=3/(a+2)(a+5)

例子:求代数式的值;乘法公式中的字母可以表示代数式;

●系统化

系统化,就是将各种有关材料编成顺序,纳入一定体系之中进行研究的一种思维方法。它是与比较、分类、抽象、概括、具体化等思维方法紧密联系在一起的。运用系统化方法,有助于从整体上把握事物的内在联系,系统、深刻地掌握知识;有助于抓住核心,了解来龙去脉。例如,在学习了两角和与差的三角函数的公式,倍角、半角的三角函数公式,万能公式以及三角函数的积化和差与和差化积公式之后,应及时指导学生把这许多公式的内在联系和推导的线索用绘制图表的方法进行系统的整理,这将大大有助于学生理解、记忆和掌握这些公式,这是学好三角函数公式的关键。

又如,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容之后,也应指导学生把这三种圆锥曲线的几何条件(定义)、标准方程、图形、性质制成图表,进行比较,并形成系统化的知识。

 

二、逻辑型思想方法

(一)演绎推理

演绎推理是从一般原理推出个别结论的思维方法。即一般到特殊的推理方法。其特点是:在推理的形式合乎逻辑的条件下,运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。演绎推理是逻辑证明的工具,整个欧几里得几何就是一个演绎推理系统,19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。三段论是演绎推理的主要形式,所谓“三段论”就是由大前提、小前提、结论三部分组成。

例如,凡同边数的正多边形都是相似的。这两个正多边形的边数是相同的,所以这两个正多边形也是相似的。这里有三个判断,第一个判断提供了一般的原理原则,叫做三段论的大前提;第二个判断指出了一个特殊场合的情况,叫做小前提;联合这两个判断,说明一般原则和特殊情况间的联系,因而得出的第三个判断,叫做结论。

公理化推理的逻辑快乐

(二)归纳与猜想

在解决数学问题时,从特殊的、简单的、局部的例子出发,通过观察类比联想进而猜想结果的思想方法。

通过对一系列特殊问题的研究,概括出一类问题的一般性规律的思维方法。

●数学归纳法

归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基??;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或n≥n0且n∈N)结论都正确”。由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时,关键是n=k+1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。

运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

(三)比较的思维方法

比较法是数学思想中的一个具有奠基作用的思维方法,是使用其他思想方法的前提。它不遵循逻辑思维的规律,但是却能获得研究发现,是确定解题方法的导火索。

使用比较法,首先要有一个比较的标准,如在几何问题中,首先必须比较若干个基本图形的异同点,搞清其区别与联系,观察出“异中之同,同中之异”,明确问题的特征、转化方式等标准,才能发现转化途径,再选择适当的解题方法。

自然界虽然千变万化,事物千差万别,但每一事物都不是孤立的存在着,而是在同其他事物的相互联系中表现出自己的许多属性。

比较是一种判断性的思维活动,是确定所研究的对象的相同点和差异点的思维方法。

应用:A概念的比较;B从不同图形中寻找相同进行比较;C将问题延伸,从中寻找规律进行比较。

例子:同类项;通过角的形态的比较,形成对对顶角、邻补角、“三线八角”的鲜明对照,在区别上明鉴,在联系上沟通;

1. 类比方法

根据事物与事物之间在某些方面(如特征、属性、关系)的相似之处进行比较,通过联想和预测,推出它们在其他方面也可能相似,从而去建立猜想和发现真理的方法。

通过类比可发现新旧知识的相同点和不同点,利用已有知识来认识新知识和加深理解新知识。

所谓类比,就是两个对象都有某些相同的属性,并且其中一个对象还有另外的某些属性作为前提,进而判断出另一个对象也有这些属性的思维形式。一些数学问题的解决思路常常是相通的,类比思想可以教会学生由此及彼,灵活应用所学知识。例如:合并同类项与合并同类二次格式类比;二次根式的和相乘与多项式乘法类比;通过与分数的类比来研究分式的概念、基本性质、通分、约分、运算等;由假分数化成带分数继而化为整数部分和分数部分的和,联想到在分子的次数不低于分母次数的分式中可以用带余除法将分式转化为整式部分和分式部分的和;通过与等式基本性质的类比来学习不等式的基本性质;学习一元一次不等式的解法,应将其与一元一次方程的解法进行类比;

2.对比方法

把两个几何图形的特征加以对比,才能发现它们的区别和联系才能深刻地理解,才能识别。

    例如:线段的中点和角平分线的区别和联系;

(四)举反例证明假命题的方法、反驳

●反驳

是用已知为真的命题去揭露或证实另一个命题的虚假性的逻辑方法。反驳与证明不同,证明是确定某一判断的真实性,反驳是确定对方论题的虚假性或不能成立;证明的作用在于探求真理,阐明真理,反驳的作用则在于揭露谬误,捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的,如果确定了一个判断的真实性,同时也就意味着确定了与之相矛盾的判断的虚假性。反之,如果确定了一个判断的虚假性,同时也就意味着确定了与之相矛盾判断的真实性。所以,证明与反驳是相辅相成的,它们都是人们探索真理、发展真理不可缺少的思维形式和逻辑方法。

常用的反驳法有以下三种:

⑴ 构造一反例。即举出一个例子,说明它具备命题的全部条件,但不具有命题的结论。

⑵ 假定命题成立,推出荒谬结果,从而证明了该命题是虚假的。

例如,证明“零可以作除数”是错误的。

证明:因为2-2=3-3即2(1-1)=3(1-1)

若零可以作除数,则推出2=3这一结果,显然荒谬。所以,“零可以作除数”是错误的。

⑶论证与该命题相矛盾的命题是真实的,根据矛盾律则推出原命题是虚假的

数学中,要认定一个命题是真命题,必须就一般情况给出严格的推理证明,而要认定一个命题是假命题,只需举出一个反例就可以了。举反例是证明一个命题是假命题的一般方法。

反证法

反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假

设,然后,从这个假设出

发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。

反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是:否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是:

第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;

第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;

第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲,反证法常用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显。具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。

(五)“从特殊到一般” 认识规律又“从一般到特殊”运用知识的方法

在由几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律、性质或公式,再由一般的规律、性质或公式去得出简单的、个别的、特殊的情况。如公式推导、图形性质等。

例子:研究幂的运算规律;从具体例子,并归纳二次根式的性质;运用二次根式的性质化简二次根式;

(六)分析法和综合法

分析法:执果索因,从未知看已知,逐步推向已知。从要证的结论出发,反过来找出使结论成立的条件,每一步的目的明确,容易找到证题思路,但表达啰嗦。

综合法:由因导果,从已知看未知,逐步推向未知。从已知条件出发,逐步向结论推进,表达直截了当、简单清晰,但有时不容易把握方向,找不准证题思路。

所以,研究数学问题时,一般总是先用分析法去想,在分析的基础上用综合法写出来。

例如:立方程解应用题;

三、操作技巧型思想方法

数学基本方法是做好题、迅速做题、准确做题的关键。

1.分解因式法

因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

是进行分式运算的关键(通分、约分、去分母时一般都需先分解因式);解一元二次方程、二元二次方程组;

2.通分

分式运算;

3.约分

分式运算;

4.去分母

分式运算;

5. 配方法

配方,就是用恒等变形的方法把一个解析式中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂和的形式。

通过配方解决数学问题的方法角配方法。其中用得最多的是配成完全平方式。是数学中一种重要的恒等变形的方法。

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)a2ab+b,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:

ab(a+b)2ab=(a-b)2ab;

aab+b(a+b)ab=(a-b)3ab=(a+)+(b);

abcab+bc+ca=[(a+b)(b+c)(c+a)]

abc(a+b+c)2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2(ab-bc-ca)=…

结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:

1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα);

x(x+)2=(x-)2 ;…… 等等。

应用:因式分解;化简根式;证明等式和不等式;解一元二次方程;一元二次方程求根公式的推导;一元二次方程根的判别式的应用;韦达定理的应用;将二次函数的一般式转化为顶点式,进而求得抛物线的顶点坐标(或最大、最小值)和对称轴;求函数的极值和解析式;推导抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点A(x1,0)、B(x2,0)之间的距离公式;一般式、顶点式、标根式。

6.消元法

解方程组的基本思想是消元,将多元逐步变为二元、一元方程来解决。

1代入消元法:解一元二次方程、二元二次方程组;

2加减消元法;

3)把两方程相乘或相除;

7.降次法

因式分解降次法:解一元二次方程、二元二次方程组;

8.换元法:

在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,把它简化,使问题易于解决。

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法?;辉氖抵适亲?,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来?;蛘弑湮煜さ男问?,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:422≥0,先变形为设2t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sinα ,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyrr>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=t,y=t等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。

如:解可化为一元二次方程的分式方程、分式方程组;二次三项式的因式分解;

9.待定系数法

在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。

要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法,它解题的基本步骤是:

第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;

第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;

第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:

① 利用对应系数相等列方程;

② 由恒等的概念用数值代入法列方程;

③ 利用定义本身的属性列方程;

④ 利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。

求函数解析式的重要方法(据已知自变量和函数值〈或者点的坐标〉来确定函数的解析式);

10. 特殊化方法

在探索某问题的过程中,先抛开其一般的情形,而抓住其个别的、局部的特殊情形,并通过对特殊情形(如图形的特殊位置,度量的特殊值或图形的特殊形状等)的研究洞察出一般情形所具有的性质,进而达到发现或验证待求结果,或者发现或验证解题方法的目的的一种思维方法。

这种方法主要依据的是一般规律蕴含于特殊情形之中,特殊情形是一般规律的外在形态,因而对于一个问题,当探索其一般性结论较为困难时,可先研究其特殊情形,再推到一般。

应用:A运用取“特殊值”或“特殊位置”的方法发现结论;B由特殊图形推广到一般图形寻求规律。

特殊值法和辅助线的添加

11.几何变换法

平移、旋转变换,轴对称,相似变换

在数学问题的研究中,,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。

几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。

12.面积法

几何中的面积公式以及由面积公式推出的面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积法。它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在于如何添加适当的辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添辅助线,即使需要添辅助线,也很容易想到。

应用:⑴利用面积法求线段的长;⑵利用面积法证线段等式;⑶利用面积法证线段不等式;⑷利用面积法求线段的比

13.割补法、分解组合思想

能把在内容和形式上,和教材上的公式、定理所需要具备的条件不完全一样的数学问题,通过对问题的分解、拆割,或者合成、拼补等手段,将问题转化为符合公式、定理所要求的形式,并运用公式、定理来加以解决。

1因式分解:

 ;

2将两块三角板如图放置,其中求重叠部分的面积。

14.分解图形法

复杂的图形都是由简单的基本图形组成,故可以将复杂图形分解成几个基本图形,从而使问题简化。

15.定义法

所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法。

16.公式法

17.比较法

比差法;比商法

18. 构造法

在解题时,我们常?;岵捎谜庋姆椒?,通过对条件和结论的分析,

构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。

19. 判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,

△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。

20. 逆向变换的方法

例如:公式和法则的逆向运用;

21. 参数法

参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证?;辉ㄒ彩且氩问牡湫屠?。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系,从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态,揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的信息,顺利地解答问题。

22.用字母表示数

会用字母表示数,进行式的运算和讨论一些数学问题。如会列方程解应用题,会用换元法,利用整体思想达到化简解题过程或解决问题的目的等。用字母表示数的思想是数学转化思想的具体体现。在代数第一册第一章“代数初步知识”中,主要体现了这种思想。例如:

设甲数为a,乙数为b,用代数式表示:(1)甲乙两数的和的2倍:2(a+b)(2)甲数的1/3与乙数的1/2差:1/3a-1/2b

A、一件工作,甲做a天能完成,乙做b天能完成,现在甲先做了c天(c﹤a),余下的工作由乙继续完成,乙需做几天可以完成全部工作?

B、已知x= 的值。

23.图形运动思想

初中图形运动包含平移、翻折和旋转,能通过实验、操作、观察和想象掌握运动的本质,在图形的运动中找到不变量,然后解决问题。

把一张边长为2的正方形纸片ABCD折叠,使B落在AD上(不和A、B重合),MN为折痕,设a。求:(1)折起部分面积;(2)折痕MN的长。(用a的代数式表示)

24.统计思想

用样本估计总体是统计的基本思想,要通过抽样调查,初步感受抽样的必要性,并建立用样本估计总体的思想。

25.客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的

一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察

学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。

填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。

要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。

1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。

2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。

3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。

4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。

5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。

6)分析法:直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,称为分析法。

 

 

 

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